Fakultät Physik - Mathematischer Selbsttest

Elementare Geometrie und Trigonometrie

1. In der Skizze ist die Gerade \(k\) parallel zur Seite \(AB\) des Dreiecks \(ABC\), und die Gerade \(h\) ist senkrecht zur Seite \(AB\) (d.h. sie schließt mit der Seite \(AB\) rechte Winkel ein) und geht durch den Punkt \(C\). Welche der nummerierten Winkel sind mit Sicherheit genauso groß wie der Winkel \(\beta\) ?

Abbildung eines Dreiecks, das von zwei Graden geschnitten wird und in dem Winkel eingezeichnet sind

\(1,3,5,7,9\)
\(1,3,7,9\)
\(7,9\)
Weiß ich nicht

Elementare Geometrie und Trigonometrie

2. Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck \(ABC\) mit \(c=6\; {\rm cm}\) und \(a=b=5 \; {\rm cm}\). Was ist die Länge der Winkelhalbierenden \(h\)?

Abbildung eines gleichschenkligen Dreiecks mit eingezeichneter Höhe

\(4\, {\rm cm}\) \(3\, {\rm cm}\) \(2\, {\rm cm}\) Weiß ich nicht

Elementare Geometrie und Trigonometrie

3. Gegeben sei noch einmal das gleichschenklige Dreieck \(ABC\) mit \(c=6\; {\rm cm}\) und \(a=b=5 \; {\rm cm}\). Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\)?

\(10\, {\rm cm}^2\)
\(12\, {\rm cm}^2\)
\(16\, {\rm cm}^2\)
Weiß nicht

Elementare Geometrie und Trigonometrie

4. Auf den Seiten eines Quadrats mit Seitenlänge \(a\) sind Halbkreise aufgesetzt. Wie groß sind der Umfang \(U\) und der Flächeninhalt \(F\) der gesamten Figur (durchgezogene Linie)?

Abbildung eines Quadrats mit aufgesetzen Halbkreisen

\(U=2\pi a\) , \(F=(1+\pi)a^2\)
\(U=2\pi a\) , \(F=(1+\frac{\pi}{2})a^2\)
\(U=4\pi a\) , \(F=(1+\pi)a^2/2\)
Weiß ich nicht

Elementare Geometrie und Trigonometrie

5. Gegeben sei das unten stehende rechtwinklige Dreieck. Drücken Sie \(\sin \beta\), \(\cos \beta\) und \(\tan \beta\) durch die Seitenlängen \(a,b,c\) des Dreiecks aus.

Abbildung eines rechtwinkligen Dreiecks, mit eingezeichnetem Winkel beta

\( \sin{(\beta)}=b/c \;,\;\cos{(\beta)}=a/c\;,\;\tan{(\beta)}= b/a \)
\( \sin{(\beta)}=b/c \;,\;\cos{(\beta)}=a/c\;,\;\tan{(\beta)}= a/b \)
\( \sin{(\beta)}=a/c \;,\;\cos{(\beta)}=b/c\;,\;\tan{(\beta)}= b/a \)
Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

6. Gegeben seien die zwei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\). Welcher Vektor ist \(2\vec{a}+\vec{b}\)?

Koordinatensystem, in das fünf Vektoren eingezeichnet sind

rot
grün
blau
Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

7. Berechnen Sie das Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) der beiden Vektoren \[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3\\ \end{array} \right) \quad \mbox{und} \quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2\\ -1\\ \end{array} \right)\;. \]

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=4\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\)
Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

8. Berechnen Sie das Kreuzprodukt \(\vec{a}\times\vec{b}\) der beiden Vektoren \[ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3\\ \end{array} \right) \quad \mbox{und} \quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2\\ 0\\ \end{array} \right)\;. \]

\( \vec{a}\times\vec{b}= \left(\begin{array}{c}6 \\-4\\9\\ \end{array}\right) \) \( \vec{a}\times\vec{b}= \left(\begin{array}{c}9 \\-4\\6\\ \end{array}\right) \)
\( \vec{a}\times\vec{b}= \left(\begin{array}{c}-6 \\9\\-4\\ \end{array}\right) \)
Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

9. Welchen Betrag hat das Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), wenn zwei Vektoren \(\vec{a},\vec{b}\) senkrecht oder parallel zueinander stehen?

\( \begin{array}{l} {\rm senkrecht:} \\ {\rm parallel:} \end{array} \begin{array}{l} |\vec{a}\cdot\vec{b}|= |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|/\sqrt{2} \\ |\vec{a}\cdot\vec{b}|=0 \end{array} \) \( \begin{array}{l} {\rm senkrecht:} \\ {\rm parallel:} \end{array} \begin{array}{l} |\vec{a}\cdot\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \\ |\vec{a}\cdot\vec{b}|=0 \end{array} \) \( \begin{array}{l} {\rm senkrecht:} \\ {\rm parallel:} \end{array} \begin{array}{l} |\vec{a}\cdot\vec{b}|=0 \\ |\vec{a}\cdot\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \end{array} \) Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

10. Welchen Betrag hat das Kreuzprodukt \(\vec{a}\times\vec{b}\), wenn zwei Vektoren \(\vec{a},\vec{b}\) senkrecht oder parallel zueinander stehen?

\( \begin{array}{l} {\rm senkrecht:} \\ {\rm parallel:} \end{array} \begin{array}{l} |\vec{a}\times\vec{b}|= |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|/\sqrt{2} \\ |\vec{a}\times\vec{b}|=0 \end{array} \) \( \begin{array}{l} {\rm senkrecht:} \\ {\rm parallel:} \end{array} \begin{array}{l} |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \\ |\vec{a}\times\vec{b}|=0 \end{array} \) \( \begin{array}{l} {\rm senkrecht:} \\ {\rm parallel:} \end{array} \begin{array}{l} |\vec{a}\times\vec{b}|=0 \\ |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \end{array} \) Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

11. Welche Gleichung beschreibt eine Gerade in der \(x\)-\(y\)-Ebene, die durch die Punkte \[ P_1 = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \;\; {\rm und}\;\; P_2=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -1 \end{array} \right) \] geht?

\(y=x-1\)
\(y=x+1\)
\(y=x-2\)
Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

12. Welchen Abstand haben die Punkte \[ P_1 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right) \;\; {\rm und}\;\; P_2= \left( \begin{array}{c} -4 \\ -3 \end{array} \right)\;\;? \]

\(7\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2}\)
Weiß ich nicht

Analytische Geometrie

13. Welche Gleichung beschreibt einen Kreis in der \(x\)-\(y\)-Ebene mit dem Radius \(5\) und dem Mittelpunkt \((x_0,y_0)=(1,-1)\)?

\((x-1)^2+(y+1)^2=25\)
\((x+1)^2+(y-1)^2=25\)
\((x+1)^2+(y-1)^2=5\)
Weiß ich nicht

Gleichungen und Ungleichungen

14. Bestimmen Sie die Lösung für \(x\) und \(y\) des linearen Gleichungssystems

\begin{eqnarray*} x+2y&=&a\\ x+3y&=&b\;\;. \end{eqnarray*}

Was ist \(x+y\)?

\(x+y=a-b\)
\(x+y=2a-b\)
\(x+y=a-2b\)
Weiß ich nicht

Gleichungen und Ungleichungen

15. Bestimmen Sie die beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) der Gleichung

\[ x^2 -10x +21=0\;\;. \]

Was ist \(x_1+x_2\)?

\(x_1+x_2=14\)
\(x_1+x_2=12\)
\(x_1+x_2=10\)
Weiß ich nicht

Gleichungen und Ungleichungen

16. Lösen Sie die Gleichung

\[ p=\frac{1}{a+p} \]

nach \(a\) auf.

\(a=\frac{1-p^2}{p}\)
\(a=\frac{1-p}{p^2}\)
\(a=\frac{1-p^2}{p^2}\)
Weiß ich nicht

Gleichungen und Ungleichungen

17. Lösen Sie die Gleichung

\[ \frac{2}{x} + \frac1{\sqrt{a}+1} = \frac1{\sqrt{a}-1} \]

nach \(x\) auf.

\(x=(a-1)^2\)
\(x=a^2-1\)
\(x=a-1\)
Weiß ich nicht

Gleichungen und Ungleichungen

18. Für welche Werte von \(x\) gilt die Ungleichung

\[ \frac{x}{1+x}>\frac{1}{2}\;? \]

\(x>1\)
\(x<-1\)
\(x<-1\; {\rm und}\; x>1\)
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Elementare Funktionen

19. Es seien \(u,m>0\). Welche Umformung von

\[ \sqrt[m+2]{u^{5m+10}} \]

ist korrekt?

\(\sqrt[m+2]{u^{5m+10}}= u^5\)
\(\sqrt[m+2]{u^{5m+10}}= \sqrt{u}\)
\(\sqrt[m+2]{u^{5m+10}}= \sqrt{u}^5\)
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Elementare Funktionen

20. Welche Umformung von

\[ (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \]

ist korrekt?

\((\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=\sqrt{3}\)
\((\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3\)
\((\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=9\)
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Elementare Funktionen

21. In der Abbildung sind in roter, schwarzer, blauer und grüner Farbe die Graphen der Polynome (ganzrationale Funktionen)

\begin{eqnarray}\nonumber &&g(x)=x^3-4x^2+5x-2\;\;,\;\;\;h(x)=(x-3)(x+1)\;,\\\nonumber &&j(x)=x^2+1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;k(x)=x^2-4\; \end{eqnarray}

abgebildet. Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die zugehörige Funktionsvorschrift zu.

Koordinatensystem, welches die Graphen der in der Aufgabe genannten Polynome enthält.

\(g:\) schwarz , \(h:\) grün , \(j:\) blau , \(k:\) rot
\(g:\) blau , \(h:\) grün , \(j:\) rot , \(k:\) schwarz
\(g:\) blau , \(h:\) rot, \(j:\) grün , \(k:\) schwarz
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Elementare Funktionen

22. In der Abbildung sind in roter, schwarzer, blauer und grüner Farbe die Graphen der Exponentialfunktionen

\begin{eqnarray}\nonumber &&g(x)=\exp{(x)}\;\;,\;\;\;h(x)=\exp{(-x)}\;,\\\nonumber &&j(x)=5^x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;k(x)=9^{-x}\; \end{eqnarray}

abgebildet. Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die zugehörige Funktionsvorschrift zu.

Koordinatensystem, welches die Graphen der in der Aufgabe genannten Exponentialfunktionen enthält.

\(g:\)rot , \(h:\) schwarz , \(j:\) grün , \(k:\) blau
\(g:\) schwarz , \(h:\) rot , \(j:\) blau , \(k:\) grün
\(g:\) blau , \(h:\) grün , \(j:\) schwarz , \(k:\) rot
Weiß ich nicht

Elementare Funktionen

23. Es sei \(\ln{(y)}\) der natürliche Logarithmus von \(y\) und \(e\) die Eulersche Zahl. Welche Umformung von

\[ \ln{\left(\sqrt{e}\cdot e^{3x}\right)} \]

ist korrekt?

\(\ln{\left(\sqrt{e}\cdot e^{3x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}+3x\)
\(\ln{\left(\sqrt{e}\cdot e^{3x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\ln{(3x)}\)
\(\ln{\left(\sqrt{e}\cdot e^{3x}\right)}= \frac{1}{2} +3x\)
Weiß ich nicht

Ableitungen

24. Was ist die erste Ableitung (Differentialquotient) \(y'\) der Funktion

\[ y(x)=2 \sqrt{x}\cdot e^{2x}\;, \]

in der \(e\) die Eulersche Zahl ist?

\(y'=\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}(1+4x)\)
\(y'=\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}(1+\sqrt{x})\)
\(y'=\frac{1}{x}(e^{2x}+4x)\)
Weiß ich nicht

Ableitungen

25. Was ist die erste Ableitung (Differentialquotient) \(y'\) der Funktion

\[ y(x)=\frac{1}{1+x^2}\;? \]

\(y'= -\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}\)
\(y'= -\frac{2x}{(1+x^2)}\)
\(y'= -\frac{2x}{(1+x^2)^2}\)
Weiß ich nicht

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Elementare Geometrie und Trigonometrie

Elementare Geometrie und Trigonometrie

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Analytische Geometrie

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Gleichungen und Ungleichungen

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Elementare Funktionen

Elementare Funktionen

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Elementare Funktionen

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Ableitungen

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